数学 C¶

まえがき¶

数学 C は新課程で登場した巻。ベクトル（旧数学 B から）、複素数平面・平面上の曲線（旧数学 III から）が集約されています。

共通テスト数学 II・B・C では「数列・統計・ベクトル・平面上の曲線+複素数平面」から 3 つ選択する形式。ベクトル は 数学 B の数列とほぼ同じくらい頻出 なので、文系・理系問わず必修と思って取り組みましょう。

🎯 章の目標

ベクトルで図形を扱える

内積・外積（応用）の意味を理解する

複素数平面で図形を回転・拡大できる

楕円・双曲線・放物線の方程式を扱える

第 1 章ベクトル¶

1.1 ベクトルとは¶

「大きさと向きを持った量」。矢印で表す。

   ●─────────→●
   始点         終点

向きが同じで長さが同じなら、位置が違っても 同じベクトル:

        →
   ●────────→●          位置 1

              →
              ●────────→●          位置 2 (平行移動しただけ)

   2 本のベクトルは「同じ」とみなす

1.2 ベクトルの計算¶

1.2.1 和¶

「矢印の継ぎ足し」。

   平行四辺形の法則:

          ●
         /│
       /   │
      /     │
   b /       │ a (平行移動)
    /         │
   ●─────────●
        a            
   合計 (a + b) = 対角線

   または「継ぎ足し法」:

   ●──a──→●──b──→●
   ↑              │
   └──────(a+b)───┘

「a の終点に b の始点を合わせて、a の始点から b の終点までが a + b」。

1.2.2 スカラー倍¶

「長さを定数倍」（負なら逆向き）。

1.2.3 一次結合¶

\[\mathbf{c} = s \mathbf{a} + t \mathbf{b}\]

平面上で $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ が平行でなければ、任意の $\mathbf{c}$ を $s, t$ で書ける。

1.3 成分表示¶

座標を使うと、ベクトルを数の組で書ける: $$\mathbf{a} = (a_1, a_2) \quad \text{(2 次元)}$$ $$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \quad \text{(3 次元)}$$

1.3.1 計算¶

和: 成分ごとに足す
スカラー倍: 成分ごとに掛ける
大きさ: $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

1.3.2 位置ベクトル¶

原点から点 $P$ へのベクトルを、点 $P$ の 位置ベクトル。

2 点 $A, B$ の位置ベクトル $\vec a, \vec b$ について: $$\vec{AB} = \vec b - \vec a$$

「終点 - 始点」と覚える。

1.4 内積¶

「ベクトル同士の似ている度」: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

1.4.1 性質¶

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ ⇔ 垂直

1.4.2 なす角¶

\[\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\]

例: $\mathbf{a} = (1, 2)$, $\mathbf{b} = (3, 1)$ - $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 + 2 = 5$ - $|\mathbf{a}| = \sqrt 5$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{10}$ - $\cos\theta = 5/\sqrt{50} = 1/\sqrt 2$ → $\theta = 45°$

1.5 ベクトルで図形¶

1.5.1 内分点・外分点¶

\[\vec{P} = \frac{n\vec a + m\vec b}{m + n} \quad (m:n \text{ 内分})\]

1.5.2 重心¶

三角形の頂点が $A, B, C$ の重心 $G$: $$\vec{G} = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}$$

1.5.3 直線¶

点 $A$ を通り方向 $\vec d$ の直線: $$\vec{P} = \vec a + t \vec d$$

2 点 $A, B$ を通る直線: $$\vec{P} = (1 - t) \vec a + t \vec b$$

1.5.4 円¶

中心 $C$、半径 $r$ の円: $$|\vec{P} - \vec{C}| = r$$

1.6 空間ベクトル¶

3 次元への拡張。基本は同じ。

1.6.1 内積¶

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\]

1.6.2 法線ベクトルと平面¶

平面 $ax + by + cz = d$ の法線は $(a, b, c)$。

点 $A(x_0, y_0, z_0)$ から平面までの距離: $$\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

1.6.3 球¶

中心 $(a, b, c)$、半径 $r$: $$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$$

1.7 ベクトル方程式の応用¶

「3 点が一直線上」「3 点が三角形を作る」など、ベクトルで条件を式に直す。

💡 共通テスト頻出 ベクトルは「ベクトル方程式 → 成分計算」の流れ。特定の場合分けと内積計算が頻出。

第 2 章平面上の曲線¶

2.1 2 次曲線¶

種類	方程式
円	$x^2 + y^2 = r^2$
楕円	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
双曲線	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
放物線	$y^2 = 4px$

2.1.1 楕円¶

「2 つの焦点からの距離の和が一定」。

            ●(x, y) ← 楕円上の任意の点
          ／ ＼
       ／       ＼
   PF1+PF2 = 一定  ＼
   ／                ＼
  /  ●F1    ●F2       \
  |                    |
   \                  /
    ＼              ／
      ＼          ／
        ＼ ____ ／

  焦点 F1, F2 からの距離の和が常に一定

「2 本の糸で釘 2 本に結んで描ける曲線」。長軸 $2a$、短軸 $2b$、焦点 $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$。

長軸 $2a$、短軸 $2b$、焦点 $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$。

2.1.2 双曲線¶

「2 つの焦点からの距離の差が一定」。

漸近線 $y = \pm \frac{b}{a} x$。

2.1.3 放物線¶

「焦点と準線から等距離」。

2.2 媒介変数表示¶

曲線を $(x, y) = (f(t), g(t))$ で表す。

例: 円 → $(r\cos t, r\sin t)$ 例: 楕円 → $(a\cos t, b\sin t)$ 例: 放物線 → $(t, t^2)$ 例: サイクロイド → $(t - \sin t, 1 - \cos t)$（コインが転がる軌跡）

2.3 極座標¶

「原点からの距離 $r$ と角度 $\theta$」で点を表す。 $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

2.3.1 極方程式の例¶

直線（原点を通る）: $\theta = \alpha$（定数）
円（原点中心）: $r = a$
カージオイド（ハート型）: $r = 1 + \cos\theta$

2.4 曲線の応用¶

軌跡を方程式で表す
接線の方程式（媒介変数の場合 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$）

第 3 章複素数平面¶

3.1 複素数の図示¶

複素数 $z = a + bi$ を点 $(a, b)$ で表す:

   虚軸 y
     ^
     |
    b●        ● z = a + bi
     |       ／
     |     ／
     |   ／  r (絶対値)
     | ／
     |/  θ (偏角)
   ──+─────●────→ 実軸 x
     O      a

「実数の数直線を 2 次元に拡張」したのが複素数平面。各複素数が 平面上の点 (a, b) として描けます。

3.2 極形式¶

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]

$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ （絶対値）
$\theta = \arg z$ （偏角）

例: $z = 1 + i$ → $r = \sqrt 2, \theta = \pi/4$

3.3 ド・モアブルの定理¶

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\]

応用: 複素数の累乗、$n$ 乗根の計算。

例: $(1 + i)^{10}$ - $1 + i = \sqrt 2 (\cos\pi/4 + i\sin\pi/4)$ - $(1 + i)^{10} = (\sqrt 2)^{10} (\cos 10\pi/4 + i\sin 10\pi/4) = 32 (\cos 5\pi/2 + i\sin 5\pi/2) = 32 i$

3.4 図形の変換¶

複素数の積は 回転と拡大 を表す: - $z' = (\cos\alpha + i\sin\alpha) \cdot z$ → 原点中心に $\alpha$ 回転 - $z' = k \cdot z$ → 原点中心に $k$ 倍拡大

3.4.1 点の周りの回転¶

点 $\alpha$ の周りに $z$ を $\theta$ 回転: $$z' = (z - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta) + \alpha$$

「ずらして回して戻す」。

3.5 図形と複素数¶

直線、円を複素数で表現
3 点が同一直線・3 点が円上を複素数で判定

共通テスト対策¶

数学 II・B・C の選択戦略¶

新課程の共通テスト数学 II・B・C は「数列・統計・ベクトル・複素数平面/曲線」から 3 つ選択。

おすすめ: - 安定狙い: 数列 + ベクトル + 統計 - 理系: 数列 + ベクトル + 複素数平面

ベクトルは 必ず取る べき単元。図形問題で得点しやすい。

ベクトル攻略¶

成分計算を素早く
内積で角度・垂直を判定
始点をそろえて引き算
空間でも基本は同じ

複素数平面攻略¶

極形式と直交形式の切り替え
ド・モアブルで累乗を即計算
回転は (cos + i sin) を掛ける

章末問題¶

$\mathbf{a} = (2, -1)$, $\mathbf{b} = (3, 4)$ の内積となす角を求めよ。
3 点 $A(1, 2)$, $B(4, 3)$, $C(2, 5)$ の重心を求めよ。
$A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$ を通る平面の方程式を求めよ。
楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ の焦点を求めよ。
放物線 $y^2 = 8x$ の頂点・焦点・準線を求めよ。
媒介変数 $(t - \sin t, 1 - \cos t)$ で表される曲線の名前を答え、$t = \pi$ での点を求めよ。
$z = 1 + i\sqrt 3$ を極形式に直し、$z^6$ を計算せよ。
複素数平面上で $i$ をかける変換は何を意味するか?
三角形 ABC で、$\vec a, \vec b, \vec c$ を頂点の位置ベクトルとするとき、重心 $G$ の位置ベクトルが $(\vec a + \vec b + \vec c)/3$ となることを示せ。
内積を使って「2 つのベクトルが垂直 ⇔ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$」を示せ。

卒業¶

これで高校数学のすべて（数学 I・A・II・B・III・C）を踏破しました。

次のステップ: - 共通テスト過去問を解く（10 年分を 2 周） - 二次対策をしたいなら、青チャートまたは Focus Gold - 数学に興味があれば、線形代数・微積分の大学教科書へ（CS 教科書の数学編）

🌟 メッセージ 数学は 手を動かして体得する 科目。「読んで分かった気になる」が一番の罠。本書の章末問題を必ず全問解き、共通テスト過去問を解き続けてください。

80 点超えのためには: 1. 公式の意味を理解（暗記だけは脆い） 2. 計算スピード（時間との戦い） 3. パターン認識（誘導の意図を読む） 4. ミスを減らす（見直しの習慣）

1 日 30 分でも継続すれば、半年〜1 年で確実に到達できます。応援しています!

種類	方程式
円	\(x^2 + y^2 = r^2\)
楕円	\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
双曲線	\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
放物線	\(y^2 = 4px\)