数学 B¶

まえがき¶

数学 B は数列と 統計的な推測 の 2 大単元。新課程ではどちらも共通テストの選択問題（数学 II・B・C で 2 つ選ぶ）として登場します。

数列: 規則性のある数の並びを式で表す
統計: 標本から母集団を推定する

両方やっておくと共通テストでの 選択肢が広がる ので強くおすすめ。

第 1 章数列¶

1.1 数列とは¶

「規則的に並んだ数の列」を数列と言います。

例: - $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$（奇数） - $2, 4, 8, 16, 32, \ldots$（2 倍ずつ） - $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$（フィボナッチ）

等差数列 (差が一定):
●   ●   ●   ●   ●   ●
1   3   5   7   9   11
 +2  +2  +2  +2  +2

等比数列 (比が一定):
●   ●     ●         ●
2   6     18        54
 ×3   ×3       ×3

各項を $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ と表します。第 $n$ 項を $n$ の式で表す のが基本目標。

1.2 等差数列¶

「一定の差で増える」数列。

例: $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$（公差 2）

1.2.1 一般項¶

初項 $a$、公差 $d$ の等差数列: $$a_n = a + (n - 1) d$$

例: 初項 3、公差 2 → $a_n = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$

1.2.2 和¶

初項 $a$、公差 $d$、項数 $n$ の和: $$S_n = \frac{n(a + l)}{2} = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2}$$ （$l$ は末項）

「初項と末項の平均 × 項数」と覚えると簡単。

例: $1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$（ガウスの逸話）

1.3 等比数列¶

「一定の比で増える」数列。

例: $2, 6, 18, 54, \ldots$（公比 3）

1.3.1 一般項¶

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列: $$a_n = a r^{n-1}$$

例: 初項 2、公比 3 → $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

1.3.2 和¶

\[S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad (r \neq 1)\]

例: $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$

1.4 シグマ記号¶

「たくさんの和」を簡潔に書く記号。

\[\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

1.4.1 基本公式¶

式	値
$\sum_{k=1}^n 1$	$n$
$\sum_{k=1}^n k$	$\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum_{k=1}^n k^2$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=1}^n k^3$	$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

1.4.2 性質¶

$\sum (a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$
$\sum c a_k = c \sum a_k$

1.5 階差数列¶

「隣の項との差」が作る数列。

\[b_n = a_{n+1} - a_n\]

元の数列の一般項: $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)$$

1.6 漸化式¶

「前の項から次を作るルール」。

1.6.1 等差型¶

$a_{n+1} = a_n + d$ → 等差数列

1.6.2 等比型¶

$a_{n+1} = r a_n$ → 等比数列

1.6.3 等差・等比の混合¶

$a_{n+1} = p a_n + q$ の解法: 1. 不動点 $\alpha = p\alpha + q$ を解いて $\alpha = q/(1-p)$ 2. $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ と変形 → 等比数列

例: $a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 3$ - 不動点: $\alpha = 2\alpha + 3$ → $\alpha = -3$ - $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$ - $a_n + 3 = (a_1 + 3) \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1}$ - $a_n = 2^{n+1} - 3$

1.6.4 階差型・複雑型¶

階差を求めるパターン、$n$ で割るパターンなど。

1.7 数学的帰納法¶

「ドミノ倒し」で数列・自然数の命題を証明。

基底: $n = 1$ で成立を示す
帰納段階: $n = k$ で成立を仮定 → $n = k+1$ で成立を示す

例: $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ を帰納法で。

基底 ($n=1$): 左 = 1、右 = 1。OK
帰納: $n=k$ で成立を仮定。 $1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ → $n = k+1$ でも成立 ✓

💡 共通テスト頻出 漸化式を解く問題は誘導付きで頻繁に出題。「変形パターン」を 5〜6 種類覚える のが攻略法。

第 2 章統計的な推測¶

2.1 確率変数と期待値¶

2.1.1 確率変数¶

「確率で値が決まる変数」。数学 A の確率を再整理。

例: サイコロの目を $X$ とすると、$X$ は確率変数。

2.1.2 期待値と分散¶

\[E[X] = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$$ $$V[X] = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2\]

2.1.3 重要な性質¶

$E[aX + b] = a E[X] + b$ $V[aX + b] = a^2 V[X]$ $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$（線形性、独立でなくても OK） $V[X + Y] = V[X] + V[Y]$（独立のとき）

2.2 二項分布¶

「確率 $p$ で起こることを $n$ 回試して、$k$ 回起こる確率」: $$P(X = k) = {}_nC_k \cdot p^k (1-p)^{n-k}$$

性質: - $E[X] = np$ - $V[X] = np(1-p)$

2.3 正規分布¶

連続な確率変数。ガウス分布。

   確率密度
     ^
     |          ＿＿
     |        ／    ＼      ← 68% (μ ± σ)
     |      ／  ████  ＼
     |    ／  ██████    ＼
     |  ／  ██████████    ＼
     |／                     ＼
   ──+──────|─────|─────|─────|──→ x
     | μ-2σ   μ-σ   μ   μ+σ   μ+2σ
                ←──── 68% ────→
            ←──────── 95% ──────→
        ←─────────── 99.7% ──────────→

平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布を $N(\mu, \sigma^2)$
標準化 $Z = (X - \mu)/\sigma$ で $N(0, 1)$ に

2.3.1 確率の計算¶

正規分布表を参照: - $P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0.6827$ - $P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) \approx 0.95$ - $P(-2.58 \leq Z \leq 2.58) \approx 0.99$

2.4 中心極限定理¶

「標本平均は近似的に正規分布」。

$X_1, \ldots, X_n$ が独立同分布、期待値 $\mu$、分散 $\sigma^2$ → 標本平均 $\bar X$ は $N(\mu, \sigma^2/n)$ に近い。

これがあるおかげで、どんな分布でも 平均を取れば正規分布で議論できる。

2.5 母集団と標本¶

母集団: 調べたい全体
標本: そこから抜き出したもの

例: 日本全国の小学生（母集団）vs 1000 人を選んで身長を測る（標本）。

「標本から母集団を推定」が統計推測。

2.6 区間推定¶

「母平均はだいたいこの範囲」を確率付きで言う:

$$\bar X - 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt n} \leq \mu \leq \bar X + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt n}$$ （95% 信頼区間）

意味: 「この手続きを繰り返せば、95% の場合に真値を含む区間が得られる」。

2.7 仮説検定¶

「観測値が偶然か、有意か」を判定。

例: 「ある工場の製品の不良率は普通 5% だが、最近のサンプルで 10% だった。本当に不良率が上がった?」

帰無仮説 $H_0$: 不良率は 5%
観測されたサンプルの確率を計算
確率が低い（< 5% など）→ $H_0$ を棄却

2.7.1 片側検定・両側検定¶

「増えた」だけ調べる → 片側「変化した」を調べる → 両側

2.7.2 第 1 種・第 2 種誤り¶

第 1 種: $H_0$ が真なのに棄却
第 2 種: $H_0$ が偽なのに採択

「有意水準 $\alpha$」が第 1 種誤りの許容確率。典型 5%。

共通テスト対策¶

数列の攻略¶

「漸化式を解く」「シグマ計算」が頻出。

等差・等比の和は反射的に
漸化式は誘導に乗る
群数列は項を整理して規則を発見

統計の攻略¶

「期待値と分散の計算」「正規分布での確率計算」「仮説検定の判断」。

期待値の線形性 $E[aX + b]$
正規分布表を素早く読む
棄却・採択の判断基準

共通テスト数学 II・B・C の選択¶

新課程では「数列」「統計」「ベクトル」「平面上の曲線・複素数平面」から 3 つ選択（年により変動）。

おすすめ組み合わせ: 数列 + 統計 + ベクトル

章末問題¶

等差数列 $5, 9, 13, \ldots$ の第 20 項と初項から第 20 項までの和を求めよ。
$1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^{n-1}$ を求めよ。
$\sum_{k=1}^n (2k^2 - k)$ を計算せよ。
$a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n + 2$ の一般項を求めよ。
$1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, \ldots$ の第 100 項を求めよ。
帰納法で $2^n > n^2$（$n \geq 5$）を示せ。
$X$ がサイコロの目のとき、$Y = 2X + 1$ の期待値と分散を求めよ。
確率 $1/3$ で起こることを 60 回試行。起こる回数の期待値と分散を求めよ。
$N(50, 10^2)$ で $P(X \geq 70)$ を求めよ（正規分布表を使用）。
不良率 0.1 の製品から 100 個取って 15 個不良。「不良率は上がった」と言えるか、片側検定 5% で判定せよ。

次の一冊へ¶

数学 B を終えたら、数学 III（理系志望なら必須）または 数学 C（ベクトル中心）へ。

ベクトルは共通テストでも頻出なので、数学 C のベクトル章を先に 読むのもおすすめ。

式	値
\(\sum_{k=1}^n 1\)	\(n\)
\(\sum_{k=1}^n k\)	\(\frac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n k^2\)	\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^n k^3\)	\(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)