数学 A¶

まえがき¶

数学 A は「離散的・図形的な発想」が中心。数学 I が「式と関数」の連続的な世界だとすれば、A は「数えたり、形を観察したり、整数の性質を調べる」世界です。

共通テストでは: - 場合の数と確率（必出） - 図形の性質 - 整数（または期待値・統計から選択）

の 3 単元から 大問 2 つ選択 する形式です。得意 2 単元に絞って深掘り が高得点の戦略。

第 1 章場合の数¶

「何通りあるか」を数える分野。CS の組合せ論（教科書第 1 章）と直結。

1.1 集合の要素の個数¶

1.1.1 和集合と積集合¶

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

例: 100 人のクラスで、英語が好きな人 60、数学が好きな人 50、両方好きな人 30。少なくとも一方が好きな人は? $60 + 50 - 30 = 80$ 人

1.1.2 補集合¶

$|\bar A| = |U| - |A|$（$U$ は全体集合）

「少なくとも 1 つ」より「1 つもない」の方が数えやすい時は補集合を使います。

1.2 場合の数 — 数えるルール¶

1.2.1 和の法則と積の法則¶

和の法則: 互いに排他的なら足す。 積の法則: 段階的に選ぶなら掛ける。

graph LR
    Start[食事を選ぶ] --> A[A 定食]
    Start --> B[B 定食]
    Start --> C[C 定食]
    Start --> D[D 定食]
    Start --> E[E 定食]
    A --> Drink1[飲み物 4 種から 1 つ]
    B --> Drink2[飲み物 4 種から 1 つ]
    C --> Drink3[飲み物 4 種から 1 つ]
    D --> Drink4[飲み物 4 種から 1 つ]
    E --> Drink5[飲み物 4 種から 1 つ]

    style Start fill:#ffeb3b

例: 食事 (5 種) と飲み物 (4 種) を 1 つずつ選ぶ → $5 \times 4 = 20$ 通り（積の法則）。

例: 食事 (5 種) または飲み物 (4 種) を 1 つ選ぶ → $5 + 4 = 9$ 通り（和の法則）。

1.3 順列¶

「$n$ 個から $r$ 個を順序を考えて並べる」場合の数。

\[_nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\]

例: 5 人から 3 人を選んで一列に並べる $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り

1.3.1 階乗¶

\[n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1, \quad 0! = 1\]

例: $5! = 120$

1.3.2 円順列¶

「円形に並べる」と、回転を同一視するので $(n-1)!$ 通り。

例: 6 人が円卓に座る方法 → $5! = 120$ 通り

1.3.3 同じものを含む順列¶

$n$ 個のうち、$a, b, c$ 個が同じ場合: $$\frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!}$$

例: AAABB を並べる方法 → $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$ 通り

1.4 組合せ¶

「$n$ 個から $r$ 個を選ぶだけ（順序なし）」。

\[_n C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

例: 10 人から 3 人の委員会 → $_{10}C_3 = 120$ 通り

1.4.1 順列と組合せの関係¶

\[_nP_r = {}_nC_r \times r!\]

「並べる = 選ぶ × 並べ替え」と覚える。

1.4.2 性質¶

$_nC_r = {}_nC_{n-r}$（選ぶ ⇔ 選ばない）
$_nC_0 = {}_nC_n = 1$
$_nC_r = {}_{n-1}C_{r-1} + {}_{n-1}C_r$（パスカルの三角形）

1.4.3 重複組合せ¶

「$n$ 種類から重複を許して $r$ 個選ぶ」場合の数: $$_n H_r = {}_{n+r-1}C_r$$

例: りんご・みかん・バナナの 3 種から重複を許して 5 個 → $_3H_5 = {}_7C_5 = 21$ 通り

1.4.4 仕切り棒テクニック (stars and bars)¶

「同じものを区別する箱に分ける」と読み替え可能: - $n$ 個の $\bullet$ と $r-1$ 本の $|$ を並べる - $_{n + r - 1}C_{r-1}$ 通り

例: 5 個のリンゴを 3 人に配る（0 個 OK）→ $_{7}C_2 = 21$ 通り

💡 共通テスト頻出 順列・組合せの選択を間違えるとほぼ全滅。「順序の有無」を必ず確認。

第 2 章確率¶

「起こりやすさ」を 0〜1 の数値で表す。

2.1 確率の基礎¶

2.1.1 定義¶

「同様に確からしい」場合: $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

例: サイコロで偶数が出る確率 → $3/6 = 1/2$

2.1.2 基本性質¶

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(\Omega) = 1$
$P(\bar A) = 1 - P(A)$（余事象）
互いに排反: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
一般: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

2.1.3 「少なくとも 1 つ」は余事象¶

「少なくとも 1 つ起きる確率」より「1 つも起きない確率」が楽。

例: サイコロを 4 回投げて少なくとも 1 回 6 が出る確率 - 1 回も出ない確率: $(5/6)^4 = 625/1296$ - よって $1 - 625/1296 = 671/1296 \approx 0.518$

2.2 独立事象と試行¶

2.2.1 独立¶

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

「片方の結果がもう一方に影響しない」。

2.2.2 反復試行¶

確率 $p$ で起こる試行を $n$ 回繰り返し、$k$ 回起こる確率:

\[_nC_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

例: コイン 10 回中 7 回表 → $_{10}C_7 (1/2)^{10} = 120/1024$

2.3 条件付き確率¶

「$B$ が起きたという条件のもとで $A$ が起きる確率」: $$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

例: トランプから 1 枚引き、それが「赤」と分かった上で「ハート」である確率 $P(\text{ハート} | \text{赤}) = \frac{P(\text{ハート})}{P(\text{赤})} = \frac{1/4}{1/2} = 1/2$

2.3.1 乗法定理¶

\[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B)\]

2.3.2 ベイズの定理¶

\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

CS 教科書第 4 章でも詳述。条件と結果を入れ替える 公式。

例: 病気の罹患率 1%、感度・特異度 99% の検査で陽性 → 本当に病気の確率は?

\[P(\text{病気} | \text{陽性}) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99} = 0.5\]

直感は「99%」と思いがちですが、計算すると 50%。これが 基準率の誤謬。

2.4 期待値¶

「得られる値の平均」。

\[E[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\]

例: サイコロの目の期待値 $$E = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5$$

2.4.1 ギャンブル・宝くじへの応用¶

「期待値が払い込みより低ければ損」。宝くじの期待値は購入額の 50% 程度。

例: 100 円賭けて、1/100 の確率で 50 円獲得、99/100 の確率で 0 $E = 50 \cdot 0.01 + 0 \cdot 0.99 = 0.5$ → 100 円払うので大損。

💡 共通テスト頻出 確率と期待値は計算量が多い。樹形図・表で整理 してから式を立てる。

第 3 章図形の性質¶

ピタゴラスの定理を超えて、三角形・円の性質を本格的に。

3.1 三角形の性質¶

3.1.1 角の二等分線の性質¶

角 $A$ の二等分線が辺 BC を $D$ で分けるとき: $$BD : DC = AB : AC$$

3.1.2 重要な点¶

点	位置
重心	中線の交点（中線を 2:1 に内分）
外心	垂直二等分線の交点（外接円の中心）
内心	角の二等分線の交点（内接円の中心）
垂心	垂線の交点
傍心	1 つの内角と他 2 つの外角の二等分線

3.2 円の性質¶

3.2.1 円周角の定理¶

「同じ弧に対する円周角は中心角の半分」。

              C
              ●     ← 円周角 θ
             /|\
            / | \
           /  |  \
          /   |   \
         /    |    \
        /     ●     \   ← 中心
       /     /O\     \
      /    /    \    \
     A●──/──────\──●B

   中心角 ∠AOB = 2θ
   円周角 ∠ACB = θ

「中心からの方が 2 倍開いて見える」と覚える。

3.2.2 接線と弦¶

「接線と弦のなす角 = 弦の対する円周角」（接弦定理）。

3.2.3 円に内接する四角形¶

「対角の和が 180°」。

3.2.4 方べきの定理¶

円外の点 P から円に交わる 2 直線を引くとき: $$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

3.3 メネラウスとチェバ¶

3.3.1 メネラウスの定理¶

三角形 ABC と 1 本の直線について: $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

3.3.2 チェバの定理¶

三角形 ABC の頂点を通る 3 本の直線が 1 点で交わるとき: $$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$$

メネラウスとチェバは「頂点 → 辺 → 頂点と一周する」と覚える。

3.4 作図¶

中学のコンパスと定規の作図を、定理に基づいて理由づけ。 - 角の二等分線 - 垂直二等分線 - 円に内接する正多角形

3.5 空間図形¶

多面体（オイラーの定理 $V - E + F = 2$）
球の表面積・体積
平面と直線の位置関係

第 4 章整数の性質¶

CS 教科書第 1 章でも扱った数論の入り口。

4.1 約数と倍数¶

4.1.1 約数の個数¶

$N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$（素因数分解）のとき、約数の個数は $$(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$$

例: $12 = 2^2 \cdot 3$ → $(2+1)(1+1) = 6$ 個（$1, 2, 3, 4, 6, 12$）

4.1.2 約数の総和¶

\[(1 + p_1 + p_1^2 + \cdots)(1 + p_2 + \cdots) \cdots\]

例: $12$ の約数の総和 $= (1+2+4)(1+3) = 7 \cdot 4 = 28$

4.2 最大公約数と最小公倍数¶

4.2.1 GCD と LCM の関係¶

\[\gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) = a \cdot b\]

4.2.2 ユークリッドの互除法¶

$\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$ を繰り返す。

例: $\gcd(252, 198)$ - $252 = 198 \cdot 1 + 54$ - $198 = 54 \cdot 3 + 36$ - $54 = 36 \cdot 1 + 18$ - $36 = 18 \cdot 2 + 0$ - 答え: 18

4.3 整数の余り（合同式）¶

$a \equiv b \pmod n$: 「$a$ と $b$ を $n$ で割った余りが等しい」。

4.4 不定方程式¶

$ax + by = c$ の整数解。

例: $3x + 5y = 1$ の整数解 - 試行錯誤で $(x, y) = (2, -1)$ が 1 つ見つかる - 一般解: $(2 + 5k, -1 - 3k)$（$k$ は整数）

4.4.1 解き方の手順¶

$\gcd(a, b)$ が $c$ を割らないと解なし
1 つの解を見つける（ユークリッドの拡張版）
一般解を書く

4.5 進数¶

10 進数 → 2 進数: 2 で繰り返し割る
2 進数 → 10 進数: 重みで掛ける

例: $13_{(10)} = 1101_{(2)}$（$8 + 4 + 0 + 1$）

共通テスト対策¶

選択戦略¶

数学 A は「場合の数と確率」「図形の性質」「整数」から 2 つ選択（年によって変動）。

おすすめ: - 理系: 場合の数・確率 + 整数 - 文系: 場合の数・確率 + 図形

「期待値」が新課程で範囲。共通テストにも登場。

高得点のコツ¶

場合の数で「順序」を必ず確認
確率では樹形図で整理
図形は補助線を引く勇気
整数は素因数分解 + ユークリッド

章末問題¶

6 人から 4 人を選んで一列に並べる方法は?
「ABCDE」の 5 文字を並べるとき、A と B が隣り合う並べ方は?
コインを 5 回投げて、表が 3 回以上出る確率を求めよ。
袋に赤玉 3 個、白玉 2 個がある。2 個取り出すとき、両方赤の確率は?
期待値 3.5 のサイコロを 2 回振ったときの目の和の期待値は?
三角形 ABC で、AB = 4, AC = 6, $\angle A = 60°$。重心から BC への距離を求めよ。
円周角の定理を、中心角を使って証明せよ。
$\gcd(420, 252)$ を互除法で求めよ。
$5x + 3y = 1$ の整数解をすべて書け。
$24$ の約数の個数と総和を求めよ。

次の一冊へ¶

数学 A を終えたら、数学 II へ。式と証明、複素数、図形と方程式、三角関数、指数・対数、微積分の基礎を学びます。