数学 III¶

まえがき¶

数学 III は 理系・数学を本格的に使う人 向けの巻。共通テストには直接は出ない（数学 II・B・C で完結）ですが、二次試験（特に旧帝大・難関大）の主戦場です。

内容は 微積分の完全版。多項式以外の関数（三角・指数・対数）の微積分、極限、複雑な積分計算。

🎯 章の目標

極限の概念と計算ができる

あらゆる関数を微分・積分できる

面積・体積・曲線長を積分で求められる

文系の方は スキップしても OK。理系で大学受験する人だけ取り組んでください。

第 1 章関数¶

1.1 分数関数¶

$y = \frac{k}{x - p} + q$ のような関数。

漸近線: $x = p$（縦）、$y = q$（横）
双曲線の形

1.2 無理関数¶

$y = \sqrt{x - a} + b$ など。定義域に制限あり。

1.3 逆関数¶

$y = f(x)$ を $x = $ ... の形に直し、変数を入れ替えたもの。$y = x$ で対称。

$f$ の逆関数を $f^{-1}$ と書く。

例: $y = 2x + 1$ → $x = (y - 1)/2$ → $f^{-1}(y) = (y - 1)/2$

1.4 合成関数¶

$f \circ g$ は「$g$ を先、$f$ を後」の合成: $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

例: $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ → $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2$

第 2 章極限¶

2.1 数列の極限¶

「$n$ を無限大にしたとき、何に近づくか」を $\lim_{n \to \infty} a_n$ と書く。

2.1.1 主要な極限¶

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ ($k > 0$)
$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ ($-1 < r < 1$)
$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$ ($r > 1$)

2.1.2 計算テクニック¶

「分子分母を最大の項で割る」が定石。

例: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2 - 1}$ - 分子分母を $n^2$ で割る: $\frac{2 + 3/n}{1 - 1/n^2} \to \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$

2.2 関数の極限¶

$\lim_{x \to a} f(x)$。「$x$ を $a$ に近づけたとき」。

2.2.1 不定形¶

「$\frac{0}{0}$」「$\frac{\infty}{\infty}$」のように直接代入できない形。変形が必要。

例: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

2.2.2 重要な極限¶

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \approx 2.718$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\]

これらは 暗記必須。証明は不等式と挟みうちの原理。

2.3 連続関数¶

「つながっている関数」。形式的には $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

2.3.1 中間値の定理¶

「$f$ が連続で $f(a)$ と $f(b)$ の符号が違うなら、間に零点がある」。

方程式の解の存在証明に使う。

第 3 章微分法 (本格版)¶

3.1 拡張された微分公式¶

関数	導関数
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1/\cos^2 x$
$e^x$	$e^x$
$\log x$	$1/x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\log_a x$	$1/(x \ln a)$

3.2 微分のルール¶

$(fg)' = f'g + fg'$（積の法則）
$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$（商の法則）
$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$（連鎖律）
逆関数: $(f^{-1})'(y) = 1/f'(x)$

3.2.1 連鎖律の練習¶

例: $y = \sin(x^2)$ - 外側 $\sin u$ → $\cos u$ - 内側 $x^2$ → $2x$ - 答え: $y' = 2x \cos(x^2)$

例: $y = e^{2x + 1}$ → $y' = 2 e^{2x + 1}$

3.3 高次導関数¶

$f''(x), f'''(x), \ldots, f^{(n)}(x)$ — 何回も微分する。

3.4 接線と法線¶

接線: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ 法線: 傾きが $-1/f'(a)$

3.5 平均値の定理¶

$f$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分可能なら、ある $c$ で $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

3.6 増減・極値・凸性¶

$f' > 0$ → 増加
$f' < 0$ → 減少
$f'' > 0$ → 下に凸
$f'' < 0$ → 上に凸
$f'' = 0$ → 変曲点候補

3.7 曲線の概形¶

定義域
対称性
漸近線
増減・凸凹
切片

を全部調べてグラフを描く。

3.8 速度・加速度¶

$x(t)$ を位置とすると、速度 $v = x'(t)$、加速度 $a = x''(t)$。

第 4 章積分法 (本格版)¶

4.1 拡張された積分公式¶

関数	不定積分
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$1/x$	$\log
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$1/\cos^2 x$	$\tan x + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$a^x / \log a + C$

4.2 置換積分¶

$u = g(x)$ と置き換える。$du = g'(x) dx$。

例: $\int 2x \cos(x^2) dx$ - $u = x^2$, $du = 2x dx$ - $\int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$

4.3 部分積分¶

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

「微分しやすいほうを $u$、積分しやすいほうを $dv$」。

例: $\int x e^x dx$ - $u = x$, $dv = e^x dx$ - $du = dx$, $v = e^x$ - $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = (x - 1)e^x + C$

4.4 有理関数の積分¶

「部分分数分解」で簡単な分数に分けてから積分。

例: $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$ - $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$ - 積分: $\frac{1}{2}(\log|x-1| - \log|x+1|) + C$

4.5 三角関数の積分¶

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
積和の公式

4.6 定積分¶

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

性質は数学 II と同じ。

4.7 区分求積法¶

「和の極限が積分」: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$$

リーマン和の極限。コンピュータの数値積分の原理。

第 5 章積分の応用¶

5.1 面積¶

$y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる面積: $$S = \int_a^b |f(x)| dx$$

「絶対値」が大事。$f < 0$ の部分は符号を反転して積分。

5.2 体積¶

回転体の体積（$x$ 軸回転）: $$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx$$

回転体のイメージ:

  y                   y
  ^                   ^
  | y = f(x)          |       ___
  |   ╱              |     ／＼  ＼
  | ╱                |   ／    \   ＼
  ●_____→ x          ●__┤      │____●→ x
  |                   |   ＼   ／
  | x 軸を軸として      |     ＼ ／
  | 回転させる          |       ̄
  |                   | 立体 (回転体)

  ●  ─────→  ⊙ (中心 (x, 0) 半径 f(x) の薄い円板を積み重ねる)

各 $x$ で 半径 $f(x)$ の円板 を作り、それを $x = a$ から $x = b$ まで積分する発想です。

例: $y = \sin x$ を $0 \leq x \leq \pi$ で $x$ 軸回転 $$V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi^2}{2}$$

5.3 曲線の長さ¶

\[L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx\]

媒介変数 $x = x(t), y = y(t)$ の場合: $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$$

5.4 物理への応用¶

仕事 $W = \int F dx$
重心
慣性モーメント

章末問題¶

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ を求めよ。
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 2x}$ を求めよ。
$y = x^2 e^x$ の導関数を求めよ。
$\int x \sin x \, dx$ を求めよ。
$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$（ヒント: $\arctan$）。
曲線 $y = x^3 - 3x$ の極値と変曲点を求めよ。
$y = \sqrt x$, $y = x^2$ で囲まれる面積。
$y = e^x$ を $0 \leq x \leq 1$ で $x$ 軸回転した立体の体積。
区分求積法で $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k}$ を求めよ。
曲線 $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ の $0 \leq x \leq 1$ の長さ。

次の一冊へ¶

数学 III の最終章は 数学 C で扱うベクトル・複素数平面・曲線で完結します。

関数	導関数
\(x^n\)	\(n x^{n-1}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\(1/\cos^2 x\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\log x\)	\(1/x\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)
\(\log_a x\)	\(1/(x \ln a)\)

関数	不定積分
\(x^n\) (\(n \neq -1\))	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(1/x\)	$\log
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(1/\cos^2 x\)	\(\tan x + C\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)
\(a^x\)	\(a^x / \log a + C\)