数学 II¶

まえがき¶

数学 II は 数学 I を一気に拡張する 巻。

式の世界: 多項式の割り算、複素数
図形の世界: 座標平面、円の方程式、軌跡
関数の世界: 三角・指数・対数の世界へ
解析の世界: 微分・積分の入門

「範囲が広い」のが特徴ですが、各分野は独立しているので順番に攻略可能。共通テスト数学 II・B・C で 配点の大半 を占めます。

第 1 章式と証明¶

1.1 多項式の割り算¶

整数の割り算と同じ手順: $$A = B \cdot Q + R$$ （$A$ を $B$ で割った商 $Q$、余り $R$）

例: $x^3 - 2x^2 + 3$ を $x - 1$ で割る - $x^3 \div x = x^2$ → $x^2(x-1) = x^3 - x^2$ を引く - $-x^2 + \cdots$ を $x$ で割って... - 結果: 商 $x^2 - x - 1$, 余り $2$

1.1.1 剰余の定理¶

「$P(x)$ を $x - a$ で割った余り = $P(a)$」

例: $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3$ を $x - 1$ で割った余り = $P(1) = 1 - 2 + 3 = 2$ ✓

1.1.2 因数定理¶

$P(a) = 0$ ⇔ $P(x)$ は $x - a$ で割り切れる

これを使って 高次方程式を因数分解 できます。

例: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ - $P(1) = 0$ → $(x - 1)$ で割れる - $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$ - 解: $x = 1, 2, 3$

1.2 分数式¶

分母に文字を含む式の計算。「通分してまとめる」が基本。

1.3 恒等式と等式の証明¶

1.3.1 恒等式¶

「任意の値で成り立つ式」。係数比較で値を決める。

例: $a x^2 + b x + c = (x - 1)(x - 2) + d$ が恒等式 → 展開して係数を比較。

1.3.2 等式の証明¶

左辺 = 右辺を直接示す
両辺を計算して同じ値に
$A = B$ ⇔ $A - B = 0$ を示す

1.4 不等式の証明¶

1.4.1 相加平均と相乗平均¶

$a, b > 0$ について: $$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ 等号は $a = b$ のとき。

応用例: $x > 0$ で $x + \frac{1}{x}$ の最小値 $$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$$ 最小値は $x = 1$ のとき $2$。

1.4.2 コーシー・シュワルツの不等式¶

\[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2\]

1.5 複素数¶

$i^2 = -1$ を満たす数を導入。

1.5.1 基本¶

\[a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})\]

実部 $a$, 虚部 $b$
共役 $\overline{a + bi} = a - bi$
絶対値 $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

1.5.2 計算¶

\[(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$$ $$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\]

割り算は共役を分母分子に掛けて有理化: $$\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i}{5}$$

1.5.3 2 次方程式の複素解¶

判別式 $D < 0$ なら複素解: $$x = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$$

第 2 章図形と方程式¶

2.1 点と直線¶

2.1.1 内分・外分¶

2 点 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点: $$\left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right)$$

2.1.2 直線の方程式¶

傾き $m$, $y$ 切片 $n$: $y = mx + n$
2 点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ を通る: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
一般形: $ax + by + c = 0$

2.1.3 平行・垂直¶

平行: 傾きが等しい
垂直: 傾きの積が $-1$

2.1.4 点と直線の距離¶

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離: $$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

2.2 円¶

2.2.1 円の方程式¶

中心 $(a, b)$, 半径 $r$: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

展開形: $$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

2.2.2 円と直線の位置関係¶

中心から直線までの距離 $d$ と半径 $r$ で: - $d < r$: 交わる（2 点） - $d = r$: 接する（1 点） - $d > r$: 交わらない

2.2.3 接線の方程式¶

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線: $$x_0 x + y_0 y = r^2$$

2.3 軌跡と領域¶

2.3.1 軌跡¶

「ある条件を満たす点の集合」。

例: $A(-2, 0), B(2, 0)$ からの距離の比が 2:1 の点の軌跡 - $\sqrt{(x+2)^2 + y^2} : \sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 2:1$ - 整理すると円

2.3.2 領域¶

不等式が表す領域を図示: - $y > x + 1$: 直線の上側 - $x^2 + y^2 < 4$: 円の内部

2.3.3 線形計画法¶

「目的関数を最大化（最小化）する」問題。共通テスト頻出。

例: $x + 2y \leq 8$, $3x + y \leq 9$, $x, y \geq 0$ のもとで、$z = 4x + 5y$ の最大値 - 領域を図示 - $z$ の等値線を平行移動 - 領域の頂点で最大に

第 3 章三角関数¶

数学 I の三角比を 任意角・周期関数 へ拡張。

3.1 一般角と弧度法¶

3.1.1 一般角¶

「何回転もする角度」も扱う。 - 反時計回りが正、時計回りが負 - $90° = 90° + 360°k$ などすべて同じ位置

3.1.2 弧度法（ラジアン）¶

「弧の長さで角を測る」方法。

\[180° = \pi \text{ rad}\]

度	ラジアン
30°	$\pi/6$
45°	$\pi/4$
60°	$\pi/3$
90°	$\pi/2$
180°	$\pi$
360°	$2\pi$

3.1.3 弧と面積¶

半径 $r$, 中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形: - 弧の長さ: $r\theta$ - 面積: $\frac{1}{2} r^2 \theta$

3.2 三角関数¶

単位円上の点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ で定義（数学 I の拡張）。

3.2.1 グラフ¶

sin x のグラフ:

   y
   ^
 1 ┤        ╭──╮
   │      ╱      ╲
   │    ╱          ╲
 0 ┼──╱──────────────╲────────────╱──── x
   │ 0    π/2    π    ╲   3π/2   ╱  2π
   │                   ╲        ╱
-1 ┤                     ╰────╯


cos x のグラフ (sin を π/2 ずらしたもの):

   y
   ^
 1 ┼╮                            ╭─
   │ ╲                          ╱
   │   ╲                      ╱
 0 ┼─────╲─────────────╱─────────── x
   │   π/2 ╲          ╱    3π/2
   │         ╲      ╱
-1 ┤           ╰──╯
                π

$\sin, \cos$ は周期 $2\pi$、$\tan$ は周期 $\pi$ で 波打つ関数。

3.2.2 重要な公式¶

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$
$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$
$\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta$, $\cos(\theta + \pi/2) = -\sin\theta$

3.3 加法定理 — 最重要公式¶

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}\]

覚え方: 「サイン: シェアハーフ + ハーフシェア」「コサイン: ココマイサシ」など。

3.4 2 倍角・半角・3 倍角¶

加法定理から導出。

\[\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1\]

半角公式: $$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}, \quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$

3.5 三角関数の合成¶

$$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)$$ ここで $\tan\alpha = b/a$。

例: $\sin\theta + \sqrt 3 \cos\theta = 2\sin(\theta + \pi/3)$

最大値は $\sqrt{a^2 + b^2}$、最小値は $-\sqrt{a^2 + b^2}$。

3.6 三角方程式・不等式¶

例: $\sin\theta = 1/2$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) $\theta = \pi/6, 5\pi/6$

単位円 で考えると、解が見つけやすい。

第 4 章指数関数と対数関数¶

4.1 指数の拡張¶

中学では $a^n$ は「$a$ を $n$ 個掛ける」だけ。これを 負の数・分数・無理数 へ拡張。

4.1.1 0 乗・負の指数¶

\[a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

4.1.2 有理数の指数¶

\[a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\]

例: $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

4.1.3 指数法則¶

法則	式
積	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
商	$a^m / a^n = a^{m-n}$
累乗	$(a^m)^n = a^{mn}$
別底	$(ab)^n = a^n b^n$

4.2 指数関数¶

$y = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）。

   a > 1 (急上昇)               0 < a < 1 (急降下)
   y                            y
   ^         ／                 ^  ＼
   |       ／                   |    ＼
   |     ／                     |      ＼
 1 ●──／                      1 ●         ＼
   |／                          |            ＼______
   +────────→ x                 +────────────────→ x

   x → +∞ で y → +∞              x → +∞ で y → 0

どちらも (0, 1) を通る（$a^0 = 1$）、y > 0 が共通点。

$a > 1$: 増加関数
$0 < a < 1$: 減少関数
どちらも $(0, 1)$ を通る、$y > 0$

4.2.1 指数方程式・不等式¶

底をそろえて指数比較: $$a^p = a^q \Leftrightarrow p = q$$ $$a^p > a^q \Leftrightarrow p > q \text{ (a > 1 のとき)}$$

例: $2^{x+1} = 8$ → $2^{x+1} = 2^3$ → $x = 2$

4.3 対数¶

「指数の逆」。

\[y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a y\]

「$a$ を何乗すると $y$ になるか」が $\log_a y$。

4.3.1 基本¶

$\log_a 1 = 0$
$\log_a a = 1$
$a^{\log_a x} = x$
$\log_a a^x = x$

4.3.2 対数法則¶

\[\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$ $$\log_a (M/N) = \log_a M - \log_a N$$ $$\log_a M^n = n \log_a M$$ $$\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a} \quad (\text{底の変換})\]

4.4 対数関数¶

$y = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$, $x > 0$）。

指数関数の 逆関数。$y = a^x$ のグラフを $y = x$ で対称に。

4.5 常用対数¶

底 10 の対数 $\log_{10}$。よく使う近似値: $$\log_{10} 2 \approx 0.3010, \quad \log_{10} 3 \approx 0.4771$$

これがあれば、$\log_{10} 5 = \log_{10}(10/2) = 1 - 0.3010 = 0.6990$ など計算できます。

4.5.1 桁数の問題¶

$N$ が $k$ 桁 ⇔ $10^{k-1} \leq N < 10^k$ ⇔ $k - 1 \leq \log_{10} N < k$

例: $2^{50}$ の桁数 $\log_{10} 2^{50} = 50 \cdot 0.3010 = 15.05$ $\lfloor 15.05 \rfloor + 1 = 16$ 桁

第 5 章微分法¶

「変化の割合」を捉える数学。

5.1 平均変化率と微分係数¶

5.1.1 平均変化率¶

$f(x)$ の $x = a$ から $x = b$ への平均変化率: $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

「$x$ が $a$ から $b$ に変わるとき、$y$ がどれくらい変わったか」。

5.1.2 微分係数¶

平均変化率の極限: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

これは「$x = a$ における接線の傾き」。

   y
   ^                            ／  ← 接線
   |                       ___／
   |                  ___／  ← (a, f(a))
   |              ___／
   |          ___／  曲線 y = f(x)
   |       ／
   |     ／
   +───────────────────→ x
   O               a

「$x = a$ における曲線の傾き」を求めるのが微分。急な坂か、緩い坂か を数値化する道具です。

5.2 導関数¶

各点 $x$ の微分係数を関数として考えたもの: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

5.2.1 基本公式¶

\[(x^n)' = n x^{n-1}\]

関数	導関数
$c$ (定数)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$	$n x^{n-1}$

5.2.2 公式¶

$(f + g)' = f' + g'$
$(cf)' = c f'$
$(fg)' = f'g + fg'$（積の法則）
$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$（商の法則）

数学 II の範囲は 多項式の微分 が中心。

5.3 関数の増減と極値¶

5.3.1 増減表¶

$f'(x)$ の符号で関数の増減が分かる: - $f'(x) > 0$: 増加 - $f'(x) < 0$: 減少 - $f'(x) = 0$: 極値の候補

例: $f(x) = x^3 - 3x$ - $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ - $f' = 0$ で $x = -1, 1$

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'$	+	0	-	0	+
$f$	↗	極大 2	↘	極小 -2	↗

5.3.2 グラフを描く¶

増減表 + $y$ 切片 + $x$ 切片で 3 次関数のグラフを描く。

5.4 最大・最小¶

定義域内で 増減を調べ、端点と極値を比較。

5.5 方程式・不等式への応用¶

例: $x^3 - 3x + k = 0$ が異なる 3 つの実数解 ⇔ ? - $f(x) = x^3 - 3x$ のグラフを描く - 極大 2、極小 -2 - 直線 $y = -k$ が 3 か所で交わる条件: $-2 < -k < 2$ → $-2 < k < 2$

第 6 章積分法¶

6.1 不定積分¶

「微分の逆」: $$\int f(x) dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)$$

$C$ は積分定数（任意の定数）。

6.1.1 基本公式¶

\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\]

例: $\int (3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C$

6.2 定積分¶

「両端の値を引く」: $$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

性質: - $\int_a^b cf(x) dx = c \int_a^b f(x) dx$ - $\int_a^b (f + g) dx = \int f + \int g$ - $\int_a^b = -\int_b^a$ - $\int_a^a = 0$

6.3 面積¶

「曲線と $x$ 軸で囲まれた面積」: $$S = \int_a^b f(x) dx \quad (f \geq 0)$$

   y
   ^
   |        ＿＿
   |     ／      ＼
   |   ／  ▓▓▓▓▓  ＼     ← 曲線 y = f(x)
   |  ／  ▓▓▓▓▓▓▓  ＼
   | ／  ▓▓▓▓▓▓▓▓▓  ＼
   |／  ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓  ＼
   ●───────────────────●─→ x
   |  a               b
   O      面積 = ∫f(x)dx

「細長い短冊を積み重ねた極限」が積分。曲線下を 黒く塗った領域 の面積を出します。

2 つの曲線の間: $$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \quad (f \geq g)$$

例: $y = x^2$ と $y = 2x$ で囲まれた面積 - 交点: $x^2 = 2x$ → $x = 0, 2$ - $0 \leq x \leq 2$ で $2x \geq x^2$ - $S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - x^3/3]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3$

6.4 公式¶

$\int_a^b (x - a)(x - b) dx = -\frac{(b - a)^3}{6}$（⅙ 公式、頻出）
$\int_a^b (x - a)^2 dx = \frac{(b - a)^3}{3}$

「⅙ 公式」は 2 次関数と直線の囲む面積で時短になります。

共通テスト対策¶

配分¶

数学 II・B・C のうち、II が 配点の核。

高得点ポイント¶

三角関数の加法定理を即時計算
指数・対数の底変換を反射的に
微分は増減表を雑に書かない
⅙ 公式で時短
誘導の文字を見落とさない

章末問題¶

$P(x) = x^3 + ax + b$ が $x - 1$ と $x + 2$ で割り切れるとき、$a, b$ を求めよ。
$z = 1 + i$ について $z^2 + z + 1$ を計算せよ。
円 $x^2 + y^2 = 25$ の点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ。
$\sin 75°$ を加法定理から求めよ。
$\log_{10} 2 = 0.301$ として、$3^{20}$ の桁数を求めよ。
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の極値を求めよ。
$\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx$ を計算せよ。
円 $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ と $x + y = 0$ の交点を求めよ。
$2\sin\theta + \sqrt 3 = 0$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) を解け。
放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる面積を求めよ。

次の一冊へ¶

数学 II を終えたら、数学 B（数列・統計）または 数学 C（ベクトル・複素数平面）へ。

関数	導関数
\(c\) (定数)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\)	\(n x^{n-1}\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'\)	+	0	-	0	+
\(f\)	↗	極大 2	↘	極小 -2	↗

度	ラジアン
30°	\(\pi/6\)
45°	\(\pi/4\)
60°	\(\pi/3\)
90°	\(\pi/2\)
180°	\(\pi\)
360°	\(2\pi\)

法則	式
積	\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
商	\(a^m / a^n = a^{m-n}\)
累乗	\((a^m)^n = a^{mn}\)
別底	\((ab)^n = a^n b^n\)