数学 I¶

まえがき — 高校数学への入口¶

数学 I は高校数学の入口です。中学で学んだ「文字式」「方程式」「関数」「図形」「確率」を 本格的な数学の言葉 に拡張します。

この本では: - 中学までの知識をそのまま使う - すべての公式に「なぜ」を添える - 共通テスト頻出パターンを章末で確認

を徹底します。やり切ると、共通テスト数学 I・A の 大問 1（数と式）・大問 2（二次関数）・大問 3（図形と計量）・大問 4（データ分析） に対応できる土台ができます。

第 1 章数と式¶

1.1 多項式の展開¶

1.1.1 文字式の復習¶

文字式とは「文字（変数）を含む式」。中学で習った $2x + 3$、$x^2 - 4x + 4$ のようなものです。

「同類項」をまとめるルールを思い出しましょう: $$3x + 5x = 8x \qquad 2x^2 + 4x^2 = 6x^2$$

ただし $x$ と $x^2$ は 別の項 なので、$3x + 2x^2$ はこれ以上まとめられません。

1.1.2 展開の基本公式¶

展開とは、$( \cdot )$ を外して 1 つの多項式にすること。

基本 1: 分配法則 $$a(b + c) = ab + ac$$

例: $3(x + 2) = 3x + 6$

基本 2: 2 項 × 2 項 $$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

例: $$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$$

1.1.3 覚えるべき展開公式¶

中学でも一部習いましたが、ここで完全に身につけます。

公式	形
平方公式（和）	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
平方公式（差）	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
和と差の積	$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
3 項の平方	$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$
3 乗の和・差	$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
立方の和・差	$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$

🌱 確認問題 $(2x - 3)^2$ を展開せよ。

解: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

💡 ポイント 「展開してから整理」より「整理してから展開」が速い。複雑な式は 同類項をまとめてから 公式を当てる。

1.2 因数分解¶

1.2.1 因数分解とは¶

展開の逆。多項式を「いくつかの式の積」に直す操作。

例: - 展開: $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$ - 因数分解: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

これは方程式を解くとき、関数のグラフを描くとき、すべての場面で使う 超基本テクニック。

1.2.2 共通因数をくくる¶

最も基本の手筋。

\[ax + ay = a(x + y)\]

例: $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$

1.2.3 たすき掛け（$x^2$ の係数が 1）¶

$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$

コツ: 定数項 $ab$ を割り出し、和が $a + b$ になるペアを探す。

例: $x^2 + 5x + 6$ を因数分解 - $6 = 1 \cdot 6 = 2 \cdot 3$ - $a + b = 5$ となるのは $2 + 3$ - よって $(x + 2)(x + 3)$

1.2.4 たすき掛け（係数が 1 以外）¶

$acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$

例: $2x^2 + 7x + 3$

    1 ────────→ 3 ───→ 6
                          ＼
                           +  → 7
                          ／
    2 ────────→ 1 ───→ 1

$(2x + 1)(x + 3)$ と分解できます。

1.2.5 公式による因数分解¶

形	因数分解
$a^2 - b^2$	$(a + b)(a - b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a - b)^2$
$a^3 + b^3$	$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3$	$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1.2.6 置き換え¶

複雑な式は 塊で置き換える と見やすくなります。

例: $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$ - $t = x^2 + x$ と置くと、$t^2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6)$ - 元に戻すと $(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 6)$ - さらに $= (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)$

1.3 実数¶

1.3.1 数の分類¶

graph TD
    C[複素数 ℂ<br/>数学 II で学ぶ]
    R[実数 ℝ]
    Q[有理数 ℚ<br/>分数で書ける]
    Irr[無理数<br/>√2, π, e など]
    Z[整数 ℤ]
    NotInt[整数でない有理数<br/>1/2, 0.3 など]
    N[自然数 ℕ<br/>0, 1, 2, ...]
    Zero[0]
    NegInt[負の整数]

    C --> R
    R --> Q
    R --> Irr
    Q --> Z
    Q --> NotInt
    Z --> N
    Z --> Zero
    Z --> NegInt

    style N fill:#c5e1a5
    style Z fill:#bbdefb
    style Q fill:#ffe0b2
    style Irr fill:#f8bbd0
    style R fill:#d1c4e9

有理数: 整数 / 整数で表せる数
無理数: そう表せない数

1.3.2 有理数と無理数¶

$\sqrt 2$ が無理数であることは、CS 教科書第 1 章でも背理法で示しました。

「循環小数 ⇔ 有理数」というルールも便利。 - $0.\overline{3} = 0.333\ldots = 1/3$ → 有理数 - $\pi = 3.14159\ldots$（循環しない） → 無理数

1.3.3 絶対値¶

$|a|$ は「$a$ の数直線上での原点からの距離」。

\[|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}\]

例: $|3| = 3$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$。

性質: - $|a| \geq 0$ - $|a|^2 = a^2$ - $|ab| = |a| \cdot |b|$ - $|a + b| \leq |a| + |b|$（三角不等式）

1.4 平方根の計算¶

1.4.1 復習¶

$\sqrt a$ は「2 乗すると $a$ になる正の数」。

$\sqrt 4 = 2$
$\sqrt 9 = 3$
$\sqrt 2 \approx 1.414$

中学で覚えるべき値: - $\sqrt 2 \approx 1.41$ - $\sqrt 3 \approx 1.73$ - $\sqrt 5 \approx 2.24$ - $\sqrt 7 \approx 2.65$

1.4.2 計算ルール¶

\[\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}, \quad \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad \sqrt{a^2 b} = a \sqrt b \;(a \geq 0)\]

例: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt 3$

1.4.3 分母の有理化¶

「分母にルートが残らないように」変形。

\[\frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}\]

分母が和・差なら共役を掛ける: $$\frac{1}{\sqrt 2 + 1} = \frac{\sqrt 2 - 1}{(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)} = \frac{\sqrt 2 - 1}{2 - 1} = \sqrt 2 - 1$$

これは「和と差の積 → 平方差」を使う典型例。

1.4.4 二重根号¶

$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt a + \sqrt b$ の形で外せます。

例: $\sqrt{5 + 2\sqrt 6}$ - $5 = 2 + 3$, $\sqrt 6 = \sqrt{2 \cdot 3}$ - $\sqrt{2 + 3 + 2\sqrt{2 \cdot 3}} = \sqrt 2 + \sqrt 3$

1.5 1 次不等式¶

1.5.1 不等式の性質¶

$a > b$ のとき: - 両辺に同じ数を足してよい - 両辺に 正の数 を掛けても OK - 両辺に 負の数 を掛けると向きが反転！

例: $-2x > 6$ の両辺を $-2$ で割ると、$x < -3$（向きが変わる）。

1.5.2 一次不等式の解き方¶

例: $3(x - 1) \leq 2x + 5$ - 展開: $3x - 3 \leq 2x + 5$ - 移項: $3x - 2x \leq 5 + 3$ - $x \leq 8$

1.5.3 連立不等式¶

例: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$ - 上: $x > 2$ - 下: $x \leq 6$ - 共通範囲: $2 < x \leq 6$

数直線で描くと分かりやすい:

─────●═══════○─────
     2       6
   含まず   含む

1.5.4 絶対値を含む不等式¶

$|x| < a$（$a > 0$） ⇔ $-a < x < a$

$|x| > a$ ⇔ $x < -a$ または $x > a$

例: $|2x - 3| \leq 5$ → $-5 \leq 2x - 3 \leq 5$ → $-1 \leq x \leq 4$

1.6 集合と命題（論理の基礎）¶

1.6.1 集合¶

ものの集まりを { } で書きます。

例: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{2, 4, 6\}$

$\cup$ (和): どちらかに含まれる
$\cap$ (積): 両方に含まれる
$\bar A$ (補集合): 含まれない

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A \cap B = \{2, 4\}$

1.6.2 必要条件と十分条件¶

「$p \Rightarrow q$」: $p$ は $q$ の 十分条件、$q$ は $p$ の 必要条件
「$p \Leftrightarrow q$」: 必要十分条件

例: 「$x = 2$ ならば $x^2 = 4$」は真。$x = 2$ は $x^2 = 4$ の 十分条件。逆「$x^2 = 4$ ならば $x = 2$」は偽（$x = -2$ もある）。

「$p$ なら $q$ だが、$q$ なら $p$ とは限らない」のとき、$p$ は十分条件だが必要条件ではない。

🌱 試してみよう 「$xy = 0$ ⇔ $x = 0$ または $y = 0$」は同値か? → ✓ 同値（必要十分）

1.6.3 否定¶

「すべての $x$ について $P(x)$」の否定 → 「ある $x$ で $P(x)$ でない」

「ある $x$ で $P(x)$」の否定 → 「すべての $x$ について $P(x)$ でない」

"全員"の否定 → "ある 1 人が違う"
"誰かがいる"の否定 → "全員違う"

1.6.4 対偶と背理法¶

対偶: 「$p \Rightarrow q$」と「$\neg q \Rightarrow \neg p$」は同値
背理法: 結論を否定して矛盾を導く

第 2 章 2 次関数¶

ここから「関数 = $y$ を $x$ で表す式」を本格的に扱います。共通テスト数学 I の最頻出単元。

2.1 関数の復習と用語¶

「$x$ を決めると $y$ が決まる」関係を関数といい、$y = f(x)$ と書きます。

定義域: $x$ の取れる範囲
値域: $y$ の取りうる範囲

例: $f(x) = x^2$, 定義域 $\mathbb{R}$, 値域 $\{y : y \geq 0\}$。

2.2 2 次関数のグラフ¶

2.2.1 基本形¶

$y = ax^2$（$a \neq 0$）は 放物線。

  a > 0 (下に凸)            a < 0 (上に凸)
      y                          y
      ^                          ^
      |  ＼      ／              |   ＿＿
      |    ＼  ／                |  ／    ＼
      |      ＼／                | ／       ＼
   ───+──────●───→ x         ───+─●─────────→ x
      |     原点 (頂点)          | ／         ＼
                                 |／            ＼

  「お椀型」=最小値あり        「山型」=最大値あり

$|a|$ が大きいほど 開きが狭く、$|a|$ が小さいほど 開きが広い:

      |a| 大 (シャープ)        |a| 小 (なだらか)
        \  /                       \      /
         \/                          \  /
                                      \/

2.2.2 平行移動¶

$y = a(x - p)^2 + q$ は、$y = ax^2$ を $x$ 方向に $p$、$y$ 方向に $q$ 平行移動したもの。

頂点は $(p, q)$。

y = (x - 3)^2 + 2:
頂点 (3, 2)、下に凸の放物線

💡 ポイント $x$ 方向は 符号が逆。$(x - 3)$ で右に 3 動く。

2.2.3 一般形と平方完成¶

一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を 基本形 $y = a(x - p)^2 + q$ に直す操作を 平方完成 といいます。

手順: 1. $x^2$ の係数 $a$ をくくる 2. $(\text{括弧内の }x \text{ 係数 } /2)^2$ を足して引く 3. 平方の形にまとめる

例: $y = 2x^2 - 8x + 5$ - $= 2(x^2 - 4x) + 5$ - $= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$ - $= 2((x - 2)^2 - 4) + 5$ - $= 2(x - 2)^2 - 8 + 5$ - $= 2(x - 2)^2 - 3$

頂点は $(2, -3)$。

2.2.4 グラフの描き方¶

平方完成して頂点を求める
開きの向き（$a$ の符号）
軸（$x = p$）
$y$ 切片（$x = 0$ を代入）
$x$ 切片（$y = 0$ の解）

2.3 2 次方程式¶

2.3.1 解の公式¶

$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の解:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

判別式 $D = b^2 - 4ac$: - $D > 0$: 異なる 2 つの実数解 - $D = 0$: 重解 - $D < 0$: 実数解なし（複素数解、数学 II で扱う）

2.3.2 解の公式の導出（理解のため）¶

$ax^2 + bx + c = 0$ を $a$ で割って平方完成: $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$ $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

「平方完成 → 解の公式」を 1 度自分の手で導いておく と忘れません。

2.3.3 解と係数の関係¶

$ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると: $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a}$$

これは「解を直接求めずに、解についての情報を引き出す」ときに便利。

2.4 2 次関数と 2 次不等式¶

2.4.1 2 次関数の最大・最小¶

平方完成 $y = a(x - p)^2 + q$ から: - $a > 0$: $x = p$ で 最小値 $q$ - $a < 0$: $x = p$ で 最大値 $q$

定義域に制限がある場合は、頂点が範囲内か外かで場合分け。

例: $y = x^2 - 4x + 3$ ($1 \leq x \leq 5$) - 平方完成: $y = (x - 2)^2 - 1$、頂点 $(2, -1)$ - $x = 2$ は範囲内 → 最小値 $-1$ - 端点の値: $f(1) = 0$, $f(5) = 8$ - 最大値 $8$（$x = 5$）

2.4.2 2 次不等式¶

$ax^2 + bx + c > 0$ のような不等式。グラフで考えるのが王道。

例: $x^2 - 5x + 6 > 0$ - 因数分解: $(x - 2)(x - 3) > 0$ - $y = (x-2)(x-3)$ のグラフは下に凸、$x = 2, 3$ で軸を切る - $y > 0$ となる範囲は $x < 2$ または $x > 3$

   y
    \   ／
     \ ／
   ──┼──●──●──→ x
        2  3

2.4.3 判別式と 2 次不等式¶

$ax^2 + bx + c > 0$ がすべての $x$ について成り立つ条件: - $a > 0$ かつ $D < 0$

例: $x^2 + kx + 4 > 0$ が常に成り立つ $k$ の範囲 - $D = k^2 - 16 < 0$ - $-4 < k < 4$

💡 共通テスト頻出 「すべての $x$ について成り立つ」「ある $x$ で成り立つ」のパターンは超頻出。グラフで「軸を切らない」「軸を切る」と判断。

第 3 章図形と計量 — 三角比¶

中学のピタゴラスの定理を発展させた、図形を 数値で扱う 武器。

3.1 三角比とは¶

直角三角形を考えます。

                  /|
                 / |
                /  |
               /   |
            c /    | b
        斜辺 /     | 対辺
            /      |
           /       |
          / θ     |
         +─────────+ 
              a (隣辺)

角 $\theta$ から見て: - 隣辺 (a): $\theta$ に隣接する辺 - 対辺 (b): $\theta$ の 向かい側 の辺 - 斜辺 ©: 直角の向かい側 の最長辺

角 $\theta$ について 3 つの比を定義:

\[\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{b}{c}$$ $$\cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{a}{c}$$ $$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{b}{a}\]

3.1.1 覚え方¶

「サイン・コサイン・タンジェント」を筆記体で書くと、$s$ は反対 / 斜辺、$c$ は隣 / 斜辺、$t$ は反対 / 隣を指す形になります。

3.2 三角比の値¶

3.2.1 30°, 45°, 60° は暗記¶

角	$\sin$	$\cos$	$\tan$
30°	$1/2$	$\sqrt 3 / 2$	$1/\sqrt 3$
45°	$\sqrt 2 / 2$	$\sqrt 2 / 2$	$1$
60°	$\sqrt 3 / 2$	$1/2$	$\sqrt 3$

3.2.2 覚え方の図¶

30°-60°-90° 三角形:           45°-45°-90° 三角形:
        |\                              |\
        | \                             | \
      2 |  \ √3                       1 |  \ √2
        |   \                           |   \
        +───\                           +────
         1                                1

辺の比 $1:\sqrt 3:2$ と $1:1:\sqrt 2$ を覚えれば、三角比は復元できます。

3.3 三角比の拡張¶

90° 以上の角にも三角比を拡張します。単位円 で考えます。

                   y
                   ^
                ___|___
              ／    |    ＼
            ／      ●(cosθ, sinθ)
           /     ／ |
          |   ／    | sinθ
          | ／  θ   |
       ───+─────────●─────→ x
          |  cosθ      1
           \           /
            \         /
              \_____/
              半径 1 の円

半径 1 の円上の点 $(x, y)$ について: - $\cos\theta = x$ ← 横座標 - $\sin\theta = y$ ← 縦座標

これで角が 0°〜360° まで（数学 II では負の角・大きな角まで）扱えるようになります。

半径 1 の円上の点 $(x, y)$ について: - $\cos\theta = x$ - $\sin\theta = y$ - $\tan\theta = y/x$

これで 0° 〜 180°（数学 I の範囲）、さらに 360° まで定義可能。

3.3.1 主要な値¶

$\theta$	0°	90°	120°	135°	150°	180°
$\sin$	0	1	$\sqrt 3/2$	$\sqrt 2/2$	½	0
$\cos$	1	0	$-1/2$	$-\sqrt 2/2$	$-\sqrt 3/2$	$-1$
$\tan$	0	×	$-\sqrt 3$	$-1$	$-1/\sqrt 3$	0

3.3.2 重要な公式¶

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$
$1 + \tan^2\theta = 1/\cos^2\theta$

最初の式は「ピタゴラスの定理」そのもの。半径 1 の円上で $x^2 + y^2 = 1$。

3.3.3 補角の公式¶

$\sin(180° - \theta) = \sin\theta$ $\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$ $\tan(180° - \theta) = -\tan\theta$

3.4 正弦定理・余弦定理¶

3.4.1 正弦定理¶

三角形 ABC で、向かい合う辺・角を $a, A$ などとすると:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

$R$ は外接円の半径。

使い所: 「辺・対角」が出てくる問題。

3.4.2 余弦定理¶

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

使い所: 「2 辺と挟む角」「3 辺から角」。

ピタゴラスの定理を一般化したもの（$A = 90°$ なら $\cos A = 0$ で $a^2 = b^2 + c^2$）。

3.4.3 三角形の面積¶

\[S = \frac{1}{2} bc \sin A\]

「2 辺 × 挟む角の sin / 2」。

ヘロンの公式（参考）: $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$

3.5 図形への応用¶

円に内接する四角形（対角の和 180°、トレミーの定理）
三角形の内接円・外接円
空間図形（柱・錐・球の体積・表面積）

💡 共通テスト頻出 「正弦定理と余弦定理の使い分け」が頻出。「対角がペアで出るかどうか」 で判断するとよい。

第 4 章データの分析¶

数学 I の最後の単元。共通テストでも 1 大問占めるので、軽視しないこと。

4.1 代表値¶

「データ全体を 1 つの数値で表す」もの。

名前	内容
平均値	データの和 / 個数
中央値	並べて真ん中
最頻値	一番多く出る値

平均はすべての値に影響されるが、外れ値に弱い。中央値は外れ値に強い。

例: 5 人の年収 $\{200, 250, 300, 350, 10000\}$（単位万円） - 平均: $2220$ 万円 - 中央値: $300$ 万円

「平均年収」と聞いたら、外れ値の影響を疑うクセを。

4.2 散らばりの指標¶

4.2.1 分散と標準偏差¶

\[\text{分散} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2\]

\[\text{標準偏差} = \sqrt{\text{分散}}\]

「ばらつきの大きさ」を測る。

例: $\{2, 4, 6\}$ - 平均: 4 - 分散: $\frac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{3} = 8/3$ - 標準偏差: $\sqrt{8/3} \approx 1.63$

4.2.2 四分位範囲¶

データを 4 等分する点: - 第 1 四分位数 ($Q_1$) - 中央値 = 第 2 四分位数 ($Q_2$) - 第 3 四分位数 ($Q_3$)

四分位範囲 = $Q_3 - Q_1$（中央 50% の幅）。

4.2.3 箱ひげ図¶

              ┌──────┬──────┐
   ─────●────┤      │      ├────●─────
              └──────┴──────┘
        最小値  Q1   中央値  Q3   最大値
                    (Q2)
              ←─ 四分位範囲 ─→

「箱の幅 = 四分位範囲」が大きいほどデータが散らばっています。ひげの先（最小・最大）が箱から大きく離れていると 外れ値 の可能性。

外れ値検出 の標準ツール。

4.3 相関¶

2 変数の関連の強さ。

4.3.1 散布図¶

4.3.2 相関係数¶

\[r = \frac{\text{共分散}}{\sigma_x \sigma_y}\]

範囲: $-1 \leq r \leq 1$ - $r = 1$: 完全な正の相関 - $r = 0$: 無相関 - $r = -1$: 完全な負の相関

注意: 相関は因果ではない。アイス売上と熱中症は相関するが、両方とも気温が原因。

4.4 仮説検定の考え方（新課程）¶

共通テストの新傾向。「観測されたデータが偶然か、有意な差か」を考える初歩。

例: コインを 100 回投げて表が 65 回出た → これは偶然? - 帰無仮説: 公正なコイン（表 50%） - 帰無仮説のもとでの確率を計算 - 確率が低ければ「有意」と判断

共通テストでは確率分布表が与えられ、与えられた基準（5% など）で判断する形式が多いです。

共通テスト対策ポイント¶

出題の傾向¶

大問	配点	内容
大問 1	30	数と式、集合と命題
大問 2	30	2 次関数
大問 3	30	図形と計量
大問 4	25	データの分析（年により変動）

数学 I は 40〜60 点。数学 A と合わせて 80 点以上 を取れれば 80 点ライン到達。

スコアアップのコツ¶

計算速度を上げる: 平方完成、解の公式、三角比の計算を反射で
公式は導けるようにする: 暗記だけだと忘れる
グラフ・図を描く: 不等式・三角比は必ず図に
誘導に乗る: 共通テストは穴埋め誘導。問題の流れを信頼
見直し時間を確保: 解き終わってから 5 分残す

よくある落とし穴¶

場合分けの抜け（特に 2 次関数の最大最小）
不等式の向きを忘れる（負の数を掛けた時）
角度の単位（度 vs ラジアン、数学 II で混乱しやすい）
標準偏差と分散の混同

章末問題¶

$(x + 2y - 3)^2$ を展開せよ。
$x^4 - 16$ を因数分解せよ。
$\sqrt{14 - 6\sqrt 5}$ を簡単にせよ。
$|2x - 3| < 5$ を解け。
$y = -2x^2 + 4x + 1$ の頂点を求め、最大値を答えよ。
$x^2 - 3x - 4 \geq 0$ を解け。
三角形 ABC で、$a = 7, b = 8, c = 5$ のとき $A$ を求めよ。
三角形の面積を求める公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を正弦定理から導いてもよいし、別証明でもよい。
データ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ の平均・分散・標準偏差を求めよ。
「$x = 1$ は $x^2 = 1$ の十分条件か、必要条件か、必要十分条件か」を答えよ。

次の一冊へ¶

数学 I を終えたら、数学 A へ。場合の数・確率・図形の性質・整数を学びます。

数学 I・A は共通テストでは同じ試験ですが、内容は独立しているので 同時並行で学んでもよい です。

形	因数分解
\(a^2 - b^2\)	\((a + b)(a - b)\)
\(a^2 + 2ab + b^2\)	\((a + b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2\)	\((a - b)^2\)
\(a^3 + b^3\)	\((a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3\)	\((a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

角	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
30°	\(1/2\)	\(\sqrt 3 / 2\)	\(1/\sqrt 3\)
45°	\(\sqrt 2 / 2\)	\(\sqrt 2 / 2\)	\(1\)
60°	\(\sqrt 3 / 2\)	\(1/2\)	\(\sqrt 3\)

\(\theta\)	0°	90°	120°	135°	150°	180°
\(\sin\)	0	1	\(\sqrt 3/2\)	\(\sqrt 2/2\)	½	0
\(\cos\)	1	0	\(-1/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-1\)
\(\tan\)	0	×	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-1/\sqrt 3\)	0

公式	形
平方公式（和）	\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
平方公式（差）	\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
和と差の積	\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
3 項の平方	\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
3 乗の和・差	\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
立方の和・差	\((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)